Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка

МОУ СОШ № 49 г. Липецка

Учитель Тарасова Светлана Васильевна.

Предмет – математика.

Класс – 9

Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса).

Объяснительная записка.

За душу каждого математика борются бес абстрактной алгебры и ангел незапятанной топологии Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка.

Андре Вейль.

…И не ори мне, геометр,

что это все не топология

и речь в ней совсем о другом.

Уймись! Тебя усвоют немногие,

меня же – чуть ли не все кругом.

Л. Мартынов «Топология»

Предлагаемый Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка курс является предметно-ориентированным. Его цель – приготовить учащихся к осознанному выбору сферы деятельности, также познакомить учащихся с теорией графов, показать ее практическую направленность и применение в жизни. Прикладная направленность арифметики определяется тем Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка, что без определенных математических познаний затруднено осознание принципов устройства и использования современной техники, восприятие и интерпретация научных познаний, также различной социальной, экономической и политической инфы.

Каждому человеку в жизни Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка приходится делать довольно сложные расчеты, воспользоваться вычислительной техникой, обладать практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, осознавать вероятностный нрав случайных событий, составлять легкие методы.

И, в конце концов Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка, больше специальностей требующих высочайшего уровня образования связано с применением конкретно прикладной арифметики. Таким макаром, расширяется круг школьников, для которых математика становится в особенности принципиальным предметом.

Для жизни в современном обществе принципиально Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка формирование математического мышления, проявляющегося в определенных интеллектуальных способностях. Ведущая роль принадлежит формированию алгоритмического мышления и умения действовать по данному методу.

Исследование прикладной арифметики содействует эстетическому воспитанию человека, развивает воображение.

Значимость математической подготовки Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка прикладного предназначения определяет последующие задачки обучения:

Темы, предложенные в данном курсе как Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка таковые, не изучаются школьной программкой. Но тема “Теория графов” имеет ярко выраженную, прикладную направленность. На обычных примерах учащимся показывается, как можно применить язык теории графов к решению разных практических задач. Теория графов – развивающаяся Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка область дискретной арифметики. Но способы теории графов захватили признание не только лишь математиков, да и инженеров, экономистов, психологов, языковедов, биологов, химиков. Внедрение языка и способов теории графов нередко ускоряет решение практических Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка задач, упрощает расчеты, увеличивает эффективность научной, инженерной и конструкторской деятельности. Конкретно вопросы практики в значимой степени содействуют насыщенному развитию теории графов.

Учебный курс, излагающий главные положения теории графов, призван привлечь внимание школьников, интересующихся арифметикой Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка.

Тема имеет ярко выраженную прикладную направленность. На обычных примерах учащимся показывается применение теории графов к решению разных практических задач.

Собственной простотой, доступностью и наглядностью язык теории графов поможет учащимся Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка отвлечься от математических штампов. Теория графов удачно используется при решении логических задач, графы помогают школьникам и при решении олимпиадных задач, которые требуют наибольшей изобретательности при малых математических познаниях.

В последние десятилетия теория графов Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка находит все новые области внедрения (физика, химия, генетика, психология, социология, экономика, лингвистика, электроника, теория планирования и управления). Конкретно запросы практики содействуют насыщенному развитию теории графов.

Не считая того, понятие «граф» очень вместительное и связано Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка со многими основными понятиями, на которых базируется математика, в том числе школьная.

Теория графов презентабельна и существованием нерешенных задач, в том числе имеющих классическую занятную форму.

Учащимся, заинтересовавшимся работой в области теории Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка графов, предстоит решить огромное количество интересных и увлекательных задач.

Поисковые и исследовательские задания будут содействовать формированию способностей самообразования, расширят познания в программных и внепрограммных областях.

^ Формы и способы обучения.

Вместе с классическими Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка формами и способами, в преподавании курса предвидено обширное применение таких форм занятий, как дискуссия, обсуждение, «мозговой штурм», «марафоны задач», деловые игры, круглый стол и пресс-конференция, лабораторно-графические работы. В преподавании Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка курса опорными станут способ проектов (как учебных, так и творческих, научно-исследовательских), творческих и практических заданий по курсу.

Вместе с рефератами и докладами предполагается подготовка научно-исследовательских работ как результата персональной и групповой Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка деятельности по итогам поисковой работы.

^ Цель предлагаемого курса – ознакомление на доступном уровне с одной из частей математического аппарата кибернетики, языком дискретной арифметики.

Задачки курса:

- развить энтузиазм школьников к предмету;

- показать Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка связь математических способов с наукой и техникой через теорию графов;

- посодействовать учащимся отступить от математических штампов; расширить их математический и общенаучный кругозор.

- обеспечить формирование и развитие способностей самообразования через поисковую и исследовательскую Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка работу;

- сформировать восприятие арифметики как одного языка зания;

- сделать положительную мотивационную базу для самостоятельного исследования теории графов.

^ Учебно-тематический план

№ п/п

Тема занятия

Кол-во часов

Форма проведения занятия

Форма контроля.

1.

Сведения из истории графов. Граф Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка и его элементы. Некие характеристики и аксиомы.

1

Лекция - беседа

Лабораторно-графическая работа

2.

Эйлеров и гамильтонов циклы. Задачки о мостах. Рисование фигур единым росчерком.

2

Лекция. Практическая работа.

Решение задач. Лабораторно-графическая работа. Самостоятельная работа Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка. Конкурс прекрасных задач.


№ п/п

Тема занятия

Кол-во часов

Форма проведения занятия

Форма контроля.

3.

История лабиринтов. Геометрическая постановка задачки о лабиринте. Методы прохождения лабиринта. Лабиринты и графы.

2

Сообщения учащихся. Беседа. Выполнение практических работ.

Поисковые задания Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка. Практическая работа.

4.

«Задача 4 красок». Графы и верная раскраска карты.

2

Сообщение по теме. Практическая работа.

Творческие задания. Выполнение практических работ.

5.

Графы с цветными ребрами и их характеристики.

1

Практикум по решению задач.

Сообщение по теме. Исследовательские задания Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка.

6.

Дерево и лес. Понятие дерева в теории графов, применение деревьев в решении разных задач.

2

Лекция. Практикум по составлению дерева решений.

Творческие и исследовательские задания.

7.

Графы и логические задачки.

2

Практическое занятие Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка.

Марафон задач. Зачетная работа. Выступления с рефератами.

8.

Сетевые графы. Элементы теории планирования и управления.

2

Лекция учителя. Комментированный разбор задачки.

Деловая игра.


9.

Применение теории графов в разных областях науки и техники.

1

Урок-конференция Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка.

Защита исследований. Отбор работ на НПК.

10.

Зачетный урок.

1

Выполнение зачетной работы.

Итоговая работа. Выставка работ.



^ Содержание программки.

Программка курса состоит из 10 разделов и рассчитана на учащихся 9 классов. На исследование курса целенаправлено отвести Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка 16 часов.

Тема 1. Сведения из истории графов. Граф и его элементы.

В данной теме приводится черта «Геометрии положений» (топологии), данная Эйлером в связи с решением исторической задачки о кенигсбергских мостах; формулируются главные понятия теории графов Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка.

Исследование задачки о мостах Кенигсберга Эйлер в 1736 г представил в Петербургскую Академию. Работа начинается определением той области арифметики, к которой относятся подобные вопросы:

«Кроме той области геометрии, которая рассматривает величины Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка, и методы измерения… Лейбниц первым упомянул о «геометрии положения», она занимается только расположением частей фигуры друг относительно друга, отвлекаясь от их размеров. Не так давно мне пришлось слышать об одной задачке Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка, относящейся к геометрии положения, и я решил выложить тут в виде примера отысканный мной метод решения этой задачи».

Дальше Эйлер доказывает невозможность решения этой задачки.

- Понятие графа и его частей. Примеры графов Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка. Полный граф. Четность верхушки графа. Главные аксиомы теории графов.


Графами были названы схемы, состоящие из точек и соединяющих эти точки отрезков прямых либо Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка кривых (примеры графов изображены на рисунке).


При помощи графов нередко упрощалось решение задач, сформулированных в разных областях познаний: в автоматике, электронике, физике, химии и др. При помощи графов изображаются схемы Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка дорог, газопроводов, тепло- и электросети. Помогают графы в решении математических и экономических задач.

Познакомимся с основными понятиями теории графов при решении легкой задачки.

Задачка: Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка рукопожатиями. Сколько всего рукопожатий было изготовлено?
Пусть каждому из 5 юных людей соответствует определенная точка на плоскости, нареченная первой буковкой его имени (рис.2), а производимому рукопожатию — отрезок либо часть кривой, соединяющая определенные точки Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка — имена (рис. 3).


Нулевой граф с пятью верхушками


Неполный граф с пятью верхушками



Точки А, Б, В, Г, Д именуются верхушками графа, а отрезки линий, соединяющие эти точки — ребрами графа. При изображении графов на рисунках либо Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка схемах отрезки могут быть прямолинейными либо криволинейными; Длины отрезков и размещение точек произвольны.
К примеру, все три фигуры на рисунке изображают один и тот же граф.

Разглядим процесс соединения точек А Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка, Б, В, Г, Д ребрами.
1. Ситуация, соответственная моменту, когда рукопожатия еще не совершались, представляет собой точечную схему, изображенную на рисунке 2. Такая схема, состоящая из «изолированных» вершин, именуется нулевым графом.
2. Ситуация Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка, когда совершены еще не все рукопожатия, может схематически быть изображена, к примеру, при помощи рисунка З: пожали руки А и Б, А и Г, Д и Г, В и Д. Последующий момент, когда Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка добавятся, к примеру, пожатия рук А и В, Г и Б, попытайтесь изобразить сами.
Графы, в каких не построены все вероятные ребра , именуются неполными графами.
3. На рисунке 4 изображен граф, соответственный всем Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка совершенным рукопожатиям. Этот граф является полным графом.


Полный граф с пятью верхушками

Если подсчитать число ребер графа, изображенного на рисунке 4, то это число и будет равно количеству совершенных рукопожатий меж пятью юными людьми Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка. Их 10.


Заметим, что если полный граф имеет n вершин, то количество ребер будет равно n(n-1)/2

Вправду, количество ребер в полном графе с n верхушками определяется как число неупорядоченных пар, составленных из Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка всех n точек-ребер графа, т. е. как число сочетаний из n частей по 2:
Граф, не являющийся полным, можно дополнить до полного с теми же верхушками, добавив недостающие ребра. Так, к примеру Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка, на рисунке 3 изображен неполный граф с пятью верхушками. На рисунке 4 ребра превращающие граф в полный граф изображены другим цветом, совокупа вершин графа с этими ребрами именуется дополнением графа.


^ Тема 2. Эйлеров и Гамильтонов Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка циклы. Задачки о мостах. Рисование фигур единым росчерком.

Учащимся дается понятие об эйлеровом и гамильтоновом циклах.

Цикл в графе, содержащий каждое ребро один раз, именуется эйлеровым; цикл именуется гамильтоновым, если он содержит каждую верхушку один Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка раз. Условие существования эйлерова цикла: граф должен быть связным, любая его верхушка обязана иметь четную локальную степень.

Граф может быть и эйлеровым, и гамильтоновым, либо одним из их, либо ни тем ни Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка другим.

К рассмотрению предлагаются разные задачки о мостах и их варианты, рассматриваются головоломки на рисование фигур единым росчерком; производятся графические и творческие работы, самостоятельная работа.

Учащимся предлагается составление подобных задач с учетом Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка параметров графов.

Рассматриваются задачки на «маршруты путешествий» и «осмотр достопримечательностей»

Рассматривается математическая постановка игры Гамильтона и ее близость к практическим задачкам, к примеру, об действенном использовании подвижного состава либо оборудования. Подразумевается проведение Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка конкурса на самую прекрасную графическую либо текстовую задачку.


^ Тема 3. История лабиринтов.

Происхождение задач о лабиринтах относится к глубочайшей древности и пропадает во мраке времен.

Слово «лабиринт» (греческое) значит «ходы в Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка подземельях».

Решению задачки о лабиринтах предпосылаются исторические справки – чтоб показать энтузиазм к этой задачке и дать приятное представление о существовавших и имеющихся лабиринтах.

Вероятен ли безнадежный лабиринт?

Задачка о прохождении лабиринта приобретает практический Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка энтузиазм, так как устройство линий электропередач, канализации, сетей дорог, каналов и т.д. – все это более либо наименее сложные лабиринты.

Начало решению вопроса о существовании безнадежных лабиринтов положено Эйлером. Результаты его изысканий Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка привели к заключению, что нет безнадежных лабиринтов.

Учащиеся знакомятся с геометрической постановкой задачки о лабиринтах; решают общую задачку, делают поисковые задания.

Нарисовав соответственный лабиринту граф, употребляют метод обхода всех ребер для нахождения Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка выхода.

Решение (т.е. маршрут, ведущий к цели) каждого лабиринта может быть найдено одним их 3-х сравнимо обычных способов.



^ Тема 4. Задачка 4 красок.

Учащиеся знакомятся с задачей раскраски карты. Задачка известна довольно издавна, но в качестве аксиомы либо задачки в первый раз была выдвинута Мебиусом в 1840 году. Сущность задачки Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка в последующем.

Для всякой карты довольно 4 разных красок, чтоб любые две области, имеющие общую границу, не были покрашены одним цветом; при этом все равно, сколько областей, как затейливы их очертания и как Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка трудно их обоюдное размещение.

Выслеживается аналогия этой задачки с Эйлеровой задачей о мостах, задачей о лабиринтах.

Учащимися формулируются условия способности раскраски 2-мя красками, 3-мя, условия «правильной раскраски».

Учащиеся делают огромное количество практических заданий Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка, делают и раскрашивают собственные карты.

Тема тем паче животрепещуща, что предположение о 4-х красках никто не обосновал, но никто и не опроверг.

В первый раз над этим вопросом задумались картографы посреди прошедшего Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка века. Не обнаружив ответа, они обратились к математикам. Подтверждено, что всякую карту можно верно раскрасить пятью красками, а так же показано, что есть карты, которые нельзя верно раскрасить в три Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка цвета. Не подтверждено, что всякую карту можно верно раскрасить 4-мя красками, но не найдена ни одна карта, которую нельзя было бы раскрасить 4-мя красками.

^ Тема 5. Графы с цветными ребрами и их характеристики Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка.

Тема рассматривает графы, надлежащие таким ситуациям, при котором любая пара каких-то частей огромного количества находится меж собой в каком-либо, но только одном отношении.

К примеру, посреди участников чемпионата в некий момент Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка есть и уже сыгравшие, и еще не сыгравшие вместе. Либо: посреди огромного количества государств есть установившие и не установившие дипломатичные дела.

Для наглядности на рисунках ребра, надлежащие различным отношениям, окрашивают различным Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка цветом. Характеристики графов формулируются в процессе решения задач.


^ Тема 6. Понятие дерева в теории графов.

Знакомство учащихся с принципиальным классом графов, именуемых деревьями, предваряется упражнениями типа: «Нарисуйте граф с семью верхушками и шестью ребрами, не Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка имеющий ни 1-го цикла».

Деревья определяются как графы, не имеющие циклов. Это одно из более нередко встречающихся в теории графов понятий, сразу обычное и комфортное в воззвании.

Вводятся понятия, связанные Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка с деревьями, рассматриваются особенности деревьев и способности их использования при решении самых разнородных задач – таких, как подсчет изомеров хим соединения, отыскание кратчайшего пути, комбинаторные задачки, вероятностные задачки, также внедрение деревьев в генетике.

Не считая Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка того, обобщается применение деревьев при описании разных вариантов игр и сочетаний либо разбиений композиций.

Ребра графов, являющегося деревом, время от времени именуют ветвями дерева, а само дерево – деревом вариантов. Вычерчивать дерево Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка полезно, когда требуется записать все имеющиеся композиции частей.

Эта тема подразумевает задания поискового и исследовательского нрава.


^ Тема 7. Графы и логические задачки.

Обобщается возможность внедрения графов при решении неких типов логических задач; рассматриваются Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка задачки на переливание, взвешивание, компанию радиальных турниров и прочее. Проводится конкурс решения задач, производится текстовая работа.

^ Тема 8. Сетевые графы.

Эта тема указывает построение сети сложного комплекса работ, определение по сети самого ответственного участка; сформировывает Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка навык определения времени окончания работ и поиска резервов времени.

Все вводимые в данной теме понятия имеют естественную природу; рассматривается комплекс работ, довольно близкий и знакомый учащимся. Учащиеся знакомятся с основными правилами Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка построения сетевых графиков, что помогает оптимальному планированию. Тема допускает разделение расчетной и графической работ меж группами учащихся.

Более успешной формой занятия по этой теме можно считать бизнес игру.


^ Тема 9. Применение теории Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка графов в разных областях науки и техники.

Целью данного занятия является ознакомление учащихся с применением теории графов в разных областях науки и техники. Работа исследовательских и поисковых групп освещает вопросы использования графов Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка в сетевом планировании, математической экономике, физике и электротехнике, биологии, химии, генетике и т.д..

Занятие проводится в виде пресс-конференции либо круглого стола. Организуется стендовая защита поисковых и исследований.

Тема 10. Зачет.

На Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка занятии подводятся итоги исследования курса, учащиеся делают итоговую зачетную работу.

Литература для учащихся.

  1. Барр С. Россыпи головоломок.- М. «Мир». 1987.

  2. Болл У, Коксетер Г. Математические эссе и утехи. – М. «Мир», 1986.

  3. Гарднер М Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка. Математические головоломки и утехи. – М. «Мир», 1971.

  4. Гарднер М. Крестики-нолики. М., «Мир», 1988.

  5. Графы // Квант. 1994. - №6.

  6. Игнатьев Е.И. В королевстве находчивости. Ростов-на-Дону, Ростовское книжное издательство, 1995.

  7. Кордемский Б.А. Математические привлекали. – М.: Издательский дом Оникс Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка: Союз – В, 2000.

  8. Перельман Я.И. Занятные задачки и опыты. – М, «Детская литература», 1972.

  9. Топология графов // Квант. – 2005. - №3.

  10. Энциклопедия для деток. Том 11. Математика. Тема «Графы». – М.: Аванта, 1998.



Литература для учителя

  1. Абрамов А.М, Березина Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка Л.Ю. и др. Методика факультативных занятий в 7-8 классах. – М. «Просвещение», 1981.

  2. Альхова З.Н., Макеева А.В Внеклассная работа по арифметике. – Саратов: «Лицей», 2002.

  3. Асарина Е.Ю., Фрид М.Е. Математика выводит из лабиринта Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка. – М. «Контекст», 1995.

  4. Березина Л.Ю. Графы и их применение. – М. «Просвещение», 1979.

  5. Гусев В.А, Орлов А.И. Розенталь А.Л. Внеклассная работа по арифметике в 6-8 классах. – М., «Просвещение», 1984.

  6. Графы и кратчайшие Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка расстояния в их. – Математика. Приложение к газете «1 сентября». – 2001 - №15, 16.

  7. Литвинова С.А, Куликова Л.В, и др. За страничками учебника арифметики. Волгоград: Панорама, 2006.

  8. Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачки на Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка находчивость. М, «Дрофа», 2005.

  9. Смирнов Е.С. Курс приятной геометрии. – М. «Просвещение», 2002.

  10. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Приятная геометрия. – М. «Дрофа», 2001.

Приложение 1

Тема 1

  1. Нарисуйте полный граф с n верхушками, если:

n=2, n=3, n Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка=5.

  1. Скольким ребрам принадлежит верхушка в полном графе с n верхушками,

n=3, n=5, n=k?

  1. Существует ли полный граф с семью ребрами?

  2. Сколько ребер в полном графе с n верхушками, если

n =3, n=4, n Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка=5?

5. Найдется ли граф с пятью верхушками, степени которых все различны, т.е. равны 0, 1, 2, 3, 4?

6. Нарисуйте граф с 5 верхушками, две из которых имеют схожую степень.

7. Изобразите три различных графа, с пятью верхушками каждый Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка, у каких нет ни 1-го цикла.

8. Лабораторно-графическая работа.


Тема 2

  1. На рисунке схематически изображена речная сеть Москвы: река Москва, реки Яуза и Сходня, Химкинском водохранилище, острова. Через реки переброшены мосты, связывающие Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка разные участки суши. Можно ли обойти за раз все мосты на рисунке, проходя через каждый менее 1-го раза?



  1. Контрабандист решил побывать во всех странах Европы, пересекая границу каждой только в один прекрасный момент Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка. Может быть ли такое путешествие?



  1. Попытайтесь, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной и той же полосы, вычертить последующие фигуры.






Тема 3.

  1. Нарисуйте граф, соответственный данному лабиринту.

  2. Удостоверьтесь Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка в том, что, войдя в лабиринт, изображенный на рисунке, можно, касаясь правой рукою стенки, дойти до центра и возвратиться.

  3. Удостоверьтесь, что из хоть какой точки лабиринта в его центр можно попасть, пользуясь Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка правилом одной руки.

  4. Как можно достать из муравейника зернышко.




  1. Это лабиринт британского короля Вильгельма III, состоит из аллей и изгородей. Необходимо пройти в центр к деревьям и лавкам под ними.







  1. Найдите Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка путь к беседке, расположенной в парке.



Тема 4.

  1. Раскрасьте предложенные карты мало вероятным количеством красок.

  2. Придумайте необыкновенную карту и раскрасьте ее в малое количество цветов.

  3. Сделайте карту, которую можно раскрасить в две, три, четыре Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка краски.



Тема 5.

  1. 6 школьников участвуют в радиальном шахматном турнире. Обосновать, что посреди их найдутся три участника, которые уже провели все встречи меж собой либо еще не сыграли вместе ни одной партии.

  2. На карте Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка выбраны 5 городов. Посреди их из всех 3-х найдутся два, соединенные авиалиниями, и два – несоединенные. Обосновать: 1) Каждый город соединен авиалиниями конкретно только с 2-мя другими. 2) Вылетев из хоть какого городка, можно облететь Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка другие, побывав в каждом по разу и возвратиться вспять.

  3. Обоснуйте, что если любой из 5 человек переписывается только с 2-мя другими, то не найдется 3-х человек, которые все переписываются меж собой.

  4. Обоснуйте, что не Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка найдется 9 человек таких, чтоб каждый был знаком ровно с 3-мя другими.

  5. Обоснуйте, что посреди 6 углов (острых) найдутся три угла А, В, С такие, что все их парные суммы А+В, А Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка+С, В+С сразу или больше 90 0 , или сразу не больше 90 0 .



Тема 6.

  1. Нарисуйте граф с семью верхушками, в каком для всех 2-ух вершин существует только один связывающий их путь.

  2. Сколько разных трехзначных Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка чисел можно записать при помощи цифр 0, 1, 2, если числа в числе могут повторяться?

  3. Составьте схему проведения розыгрыша кубка по олимпийской системе, в какой участвуют 19 команд.

  4. Сколько разных методов обедов П.И.Чичиков мог высчитать Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка из блюд, выставленных на столе у П.П.Петушка, если б на каждый обед выбирать одно прохладное блюдо, одно 1-ое, одно 2-ое, одно третье? На столе у П.П.Петушка сейчас Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка были выставлены студень с хреном, красноватая икра, свежепосоленная рыба; на 1-ое – уха из стерляди, щи с грибами; на 2-ое – осетрина жаренная, теленок жареный на вертеле; на третье – арбузы, груши.

  5. Используя меню школьной столовой, укажите все Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка вероятные обеды из 2-ух блюд, которые может заказать гость. Собственный ответ проиллюстрируйте, построив дерево вероятных вариантов.

  6. Перечислите все вероятные сочетания деловой одежки, если у вас в гардеробе брючный костюмчик темного цвета, белоснежная Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка и голубая блузы, голубая юбка и сероватый джемпер.

  7. Составьте генеалогическое древо династии Романовых.

  8. Постройте деревья, надлежащие гексану и изогексану. Обусловьте количество разных изомеров у изогексана.

  9. Изобразите дерево вероятных исходов при троекратном бросании Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка монеты.

  10. Постройте дерево игры, показывающее ходы партнеров, приводящие к победе «крестиков», если игра начата ходами: а) (х1) и (о2), б) (х1) и (о9); в) (х5) и (о8).

  11. Рассади участников «Большой восьмерки Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка» за круглым столом всеми вероятными методами.



Тема 7.

  1. Дискутируют трое друзей – Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет произнес Белокурову: «Любопытно, что один из нас – блондин, другой – брюнет, 3-ий – рыжеватый, но ни у Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей?

  2. В Артеке за круглым столом оказалось пятеро ребят из Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Юра, Толя, Алеша, Коля и Витя Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка. Москвич посиживал меж Томичем и Витей, санкт-петербуржец – меж Юрой и Толей, а напротив него посиживал пермяк и Алеша. Коля никогда не был в Санкт-Петербурге, Юра не бывал в Москве и Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка Томске, а Томич с Толей часто переписываются. Обусловьте, кто в каком городке живет.

3. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Понятно, что:

В каком сосуде Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка находится, какая из жидкостей?

4. Три подруги вышли в белоснежном, зеленоватом и голубом платьицах и туфлях. Понятно, что только у Ани цвета платьица и туфель совпадали. Ни туфли ни платьице Вали не были белоснежными. Наташа была Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка в зеленоватых туфлях.

5. На улице, встав в кружок, дискутируют Аня, Валя, Галя и Надя.




  1. В семье четыре деток. Им 5, 8, 13 и 15 лет. Зовут их Аня, Боря, Вера и Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девченка прогуливается в детский сад, Аня старше Бори, а сумма лет Ани и Веры делится на три?

  2. Какое меньшее число переливаний нужно для того, чтоб при помощи Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка 7-и 11-литровых сосудов и крана с водой отмерить 2 литра?

  3. Сколько существует разных трехзначных чисел, в записи которых участвуют только числа 1, 2, 3 и 4?

  4. Посреди чисел, о которых говорится в задачке 8, сколько существует таких Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка, в записи которых числа не повторяются?



Тема 8.

  1. В школе готовится новогодний вечер.

А) Назовите отдельные работы, которые при всем этом должны быть выполнены.

Б) Назовите несколько событий, которые включены в соответственный Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка сетевой график.

2. Приведите пример комплекса работ, который можно представить сетевым графиком. Составьте таковой график.

3. По данному сетевому графику обусловьте критичный путь и ранешний из вероятных сроков пришествия оканчивающего действия.

4. По сетевому графику обусловьте поздний Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка срок пришествия каждого действия и резерв времени.

Тема 9.

Примерные темы поисковых и исследовательских заданий, рефератов и докладов учащихся приведены в Приложении 4.

Тема 10.

Примерное содержание зачетной работы.

  1. Нарисуйте полный граф с 6 верхушками Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка.

  2. Обусловьте степень какой-либо верхушки полного графа с 20 верхушками.

  3. Обусловьте количество ребер у полного графа с 20 верхушками.

  4. Нарисуйте граф с 6 верхушками, имеющий два цикла, любой из которых проходит через все верхушки.

  5. Изобразите Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка три разных графа с шестью верхушками, не содержащих циклов.

  6. Приведите примеры связных и бессвязных графов с 6 верхушками.

  7. Нарисуйте два связных графа с 5 верхушкам так, чтоб какой-то из них являлся деревом.

  8. В Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка мастерской имеется 10 разных станков. Понятно, что любой из 10 рабочих этой мастерской умеет работать лишь на 2-ух станках и на каждом станке могут работать только двое рабочих. Можно ли расставить рабочих у Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка станков так, чтоб каждый стоял у станка, на котором умеет работать?

  9. Придумайте актуальную ситуацию, описываемую нацеленным графом с 5 верхушками.

  1. Назовите работы и действия, которые можно выделить при проведении игры баскетбольных команд 2-ух школ Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка.



Приложение 2.

В качестве поисковых и исследовательских заданий, тем для рефератов и докладов учащимся могут быть предложены последующие примерные темы:


1. Графы в головоломках.

2. Графы и игры на шахматной доске.

3. Геометрическая задачка Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка о лабиринтах.

4. Внедрение графов в школьных учебниках.

5. Графы в решении логических задач.

6. Графы и подсчет числа изомеров.

7. Графы в генетике.

8. Расчет сетевых графиков.

9. Графы и транспортные сети.

10. Графы в электротехнике.

11. Графы в психологии Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса). Пояснительная записка.

12. Неувязка 4 красок.

13. Графы и поиски анаграмм.

14. Графы в физике.

15. Графы с цветными ребрами.






elektiva-rebenok-s-vrozhdennimi-porokami-razvitiya-sovremennie-tehnologii-diagnostiki.html
elektivnie-kursi-stranica-4.html
elektivnij-kurs-demonstracionnie-opiti-v-fizike-dlya-obuchayushihsya-9-klassa-kolichestvo-chasov-17.html